Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020Materi Pokok Pembelajaran:TRANSFORMASI GEOMETRITranslasi, RefleksiRotasiDilatasi Komposisi Transformasi
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2TRANSFORMASI GEOMETRIMATEMATIKA UMUM KELASXIPENYUSUNIstiqomah, S.PdSMAN 5 Mataram
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN........................................................................................................................................................2DAFTAR ISI.......................................................................................................................................................3GLOSARIUM......................................................................................................................................................5PETA KONSEP..................................................................................................................................................6PENDAHULUAN..............................................................................................................................................7A. Identitas Modul..............................................................................................................7B. Kompetensi Dasar..........................................................................................................7C. Deskripsi Singkat Materi...............................................................................................7D. Petunjuk Penggunaan Modul.........................................................................................8E. Materi Pembelajaran......................................................................................................8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1................................................................................................................9TRANSLASI (PERGESERAN).....................................................................................................................9A.Tujuan Pembelajaran.....................................................................................................9B.Uraian Materi.................................................................................................................9C.Rangkuman..................................................................................................................14D.Latihan Soal.................................................................................................................15E.Penilaian Diri...............................................................................................................22KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.............................................................................................................23REFLEKSI (PENCERMINAN)..................................................................................................................23A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................23B.Uraian Materi...............................................................................................................23C.Rangkuman..................................................................................................................42D.Latihan Soal.................................................................................................................43E.Penilaian Diri...............................................................................................................48KEGIATAN PEMBELAJARAN 3.............................................................................................................49ROTASI (PERPUTARAN).........................................................................................................................49A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................49B.Uraian Materi...............................................................................................................49C.Rangkuman..................................................................................................................54D.Latihan Soal.................................................................................................................54E.Penilaian Diri...............................................................................................................62KEGIATAN PEMBELAJARAN 4.............................................................................................................63DILATASI.........................................................................................................................................................63A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................63
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4B.Uraian Materi...............................................................................................................63C.Rangkuman..................................................................................................................68D.Latihan Soal.................................................................................................................68E.Penilaian Diri...............................................................................................................76KEGIATAN PEMBELAJARAN 5.............................................................................................................77KOMPOSISI TRANSFORMASI................................................................................................................77A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................77B.Uraian Materi...............................................................................................................77C.Rangkuman..................................................................................................................81D.Latihan Soal.................................................................................................................81E.Penilaian Diri...............................................................................................................87EVALUASI.......................................................................................................................................................88DAFTAR PUSTAKA.....................................................................................................................................94
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5GLOSARIUMDilatasi:Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Geometri :Cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruangKomposisi Transformasi:Transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasiMatriks :Susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diapit oleh tanda kurungRefleksi:Transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cerminRotasi:Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh 𝛼terhadap suatu titik tertentu.Transformasi :Perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang)Transformasi Geometri:Perubahan posisidan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks Translasi:Transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidangdengan arah dan jarak tertentu.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PETA KONSEPTRANSFORMASI GEOMETRITranslasiRefleksiRotasiDilatasiSumbu XSumbu YGaris 𝑦=𝑥Garis 𝑦=−𝑥Titik O(0, 0)Garis 𝑥=𝑎Garis 𝑦=𝑏Pusat (0, 0)Pusat (a, b)Komposisi TransformasiMenyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas:XIAlokasi Waktu:10 ×45 menit (10 JP)Judul Modul:Transformasi GeometriB. Kompetensi Dasar3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.4.5Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi) C. Deskripsi Singkat MateriAnak-anak,banyak kegiatan atau kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan transformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan posisi dan ukuran dari suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam gambar dan matriks. Coba perhatikan gambar berikut, tentunya kalian pernah atau sering melakukan kegiatan ini bahkan setiap hari. Gambar 1. Gambar seseorang sedang bercerminSumber : febrinaayunurmayasari.wordpress.comPada saat bercermin kalian dapat melihat bayangan kalian sendiri. Bagaimanahasil bayangan yang terbentuk ketika sedang bercermin? Ternyata hasil bayangan mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Bercermin merupakan salah satu kegiatan yang menerapkan konsep transformasi geometri yaitu refleksi (pencerminan).Refleksimerupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan.Bidang pencerminan dalam geometri terdiri atas sumbu X, sumbu Y, garis 𝑦=𝑥, garis 𝑦=−𝑥, garis 𝑥=𝑎, garis 𝑦=𝑏dan terhadap titik pusat yaitu titik O (0,0).Selain refleksi, pada modul ini kita akan mempelajaritransformasi geometri yang lainnya yaitu translasi, rotasi, dan dilatasi. Translasimerupakan transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak yang sama.Rotasimerupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada titik tertentu.Rotasi ditentukan
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8oleh besar sudut dan pusat rotasi. Jika rotasi searah dengan jarum jam makabesar sudut negatif. Jika rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka besar sudut positif.Pusat rotasi terdiri atas titik asal yaitu O(0,0) dan titik tertentu yaitu P(a,b). Dilatasimerupakan transformasi ukuran atau skala suatu bangun geometri (pengecilan/pembesaran) tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala. D. Petunjuk Penggunaan ModulAnak-anakku sekalian, modul ini dirancang untuk memfasilitasi kaliandalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada modul ini.5.Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 5kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :TranslasiKedua : RefleksiKetiga : RotasiKeempat : DilatasiKelima : Komposisi Transformasi
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1TRANSLASI(PERGESERAN)A.Tujuan PembelajaranAnak-anak setelah kegiatan pembelajaran 1 ini kalian diharapkan dapat:1.Memahami pengertian translasi2.Menentukan translasipada titik 3.Menentukan translasipada kurvaB.Uraian MateriPengertian TranslasiAnak-anak, pernahkan kalian mengamati objek atau benda-benda yang bergerak di sekitar kalian ? seperti kendaraaan yang berjalan di jalan raya, pesawat yang melintas di udara, eskalator yang bergerak atau diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Kegiatan tersebut menyebabkan bendaatau objek mengalami perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran.Yuk kita memahami konsep translasi dengan menyelesaikan Masalah 1.1dan Masalah 1.2Anak-anakku,untuk mempermudah memahami konsep translasi kita bisa menggunakan pendekatan bidang Cartesius. Kita dapat mengasumsikan untuk pergeseran ke kananpada bidang cartesius merupakan sumbuX positif, pergeseran ke kiri merupakan sumbu X negatif, pergeseran ke atasmerupakan sumbu Y positifdan pergeseran ke bawahmerupakan sumbu Y negatif.Jika Masalah 1.1 kita sajikan dalam bidang Cartesius maka diperoleh gambar 2. Yuk kita perhatikan gambar2 !Ayu ingin berangkat ke sekolah. Jika Ayu berangkat dari rumah maka untuk sampai ke sekolah ayu harus berjalan 7 satuan ke arah barat dan berjalan 5 satuan ke arah selatan. Coba kamu sketsa pergerakan Ayu pada bidang cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakan Ayu dari rumah menuju sekolah? Masalah 1.1
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Gambar 2.Pergerakan Ayu dari Rumah ke Sekolahpada bidang CartesiusSumber : Koleksi PribadiJika kita melihat posisi rumah Ayu pada bidang Cartesius berada pada koordinat (3,2). Untuk menuju ke sekolah Ayu harus berjalan ke arah barat 7 satuan artinya posisi Ayubergeser 7 satuan ke kiri dari posisi rumah padabidang Cartesius. Selanjutnya Ayu harus berjalan lagi ke arah selatan 5 satuan artinya posisi Ayu bergeser 5 satuan ke bawah. Jika kita melihat pada bidang Cartesius pada saat tiba di sekolah posisi Ayu berada pada koordinat(−4,−3). Hal ini berarti (32)+(−7−5)=(−4−3)Jadi, posisi Ayu di sekolah terletak pada koordinat (−4,−3)Anak-anak,jika perpindahan lukisan diilustrasikan dalam bidang Cartesius maka akan terlihat seperti gambar di bawah ini. Yuk kita perhatikan gambar 3.Bimo akan memindahkan lukisan pada dinding dengan menggeser ke kanan sejauh 4 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan. Coba kamu sketsa pergerakan lukisan pada bidang Cartesius. Dapatkah kamu menemukan proses pergerakan lukisan dari posisi awal ke posisi akhir?Masalah 1.2
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Gambar 3. Perpindahan lukisan pada bidang CartesiusSumber : Koleksi PribadiAnak-anakku,untuk mempermudah kita memahami perpindahan lukisan yang terjadi, kita bisa memisalkan lukisan tersebut sebagai persegi panjang ABCD dan hasil perpindahan lukisan kita misalkan sebagai persegi panjang A’B’C’D’. Agar mudah memahami yukkita perhatikan gambar 4.Gambar 4. Contoh translasi bidangSumber : Koleksi PribadiAnak-anakku,jika kita perhatikan persegi panjang A’B’C’D’ merupakan bayangan dari persegi panjang ABCD setelah ditranslasi. Dari hasil translasi tersebut diperoleh 𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′=𝐷𝐷′
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Pergeseran 1 :Posisi awal titik 𝐴adalah 𝐴(−7,1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuansehingga posisi berubah di koordinat 𝐴′(1,4)Hal ini berarti :(−71)+(83)=(14)Pergeseran 2:Posisi awal titik 𝐵adalah 𝐵(−2,1), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐵′(6,4)Hal ini berarti :(−21)+(83)=(64)Pergeseran 3:Posisi awal titik 𝐶adalah 𝐶(−2,4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐶′(6,7)Hal ini berarti :(−24)+(83)=(67)Pergeseran 4:Posisi awal titik 𝐷adalah 𝐷(−2,4), kemudian bergerak ke kanan sejauh 8 satuan dan ke atas sejauh 3 satuan sehingga posisi berubah di koordinat 𝐷′(1,7)Hal ini berarti :(−74)+(83)=(17)Pergeseran setiap titik pada uraian di atas dapat disajikan secara lebih sederhana dalam Tabel 1. Titik awalTitik AkhirProsesTranslasi𝐴(−7,1)𝐴′(1,4)(−71)+(83)=(14)𝑇=(83)𝐵(−2,1)𝐵′(6,4)(−21)+(83)=(64)𝑇=(83)𝐶(−2,4)𝐶′(6,7)(−24)+(83)=(67)𝑇=(83)𝐷(−7,4)𝐷′(1,7)(−74)+(83)=(17)𝑇=(83)Tabel 1.Translasititik
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Berdasarkan pengamatan pada Tabel 1, secara umum diperoleh konsep :Catatan : Titik A’ disebut bayangan titik A oleh translasi𝑇=(𝑎𝑏)Anak-anak,untuk lebih memahami konsep translasi,mari kita simak contoh soal 1 dan contoh soal 2 Pembahasan :Pada soal diketahui koordinat titik 𝐴(2,3)artinya 𝑥=2dan 𝑦=3akan ditranslasikan oleh 𝑇(−34)artinya 𝑎=−3dan 𝑏=4sehingga dapat dituliskan (𝑥′𝑦′)=(𝑥𝑦)+(𝑎𝑏)(𝑥′𝑦′)=(23)+(−34)(𝑥′𝑦′)=(2+(−3)3+4)(𝑥′𝑦′)=(−17)Pembahasan :Pada soal diketahui persamaan garis3𝑥+5𝑦−7=0akan ditranslasikan oleh 𝑇(2−1)artinya 𝑎=2dan 𝑏=−1Misal titik 𝐴(𝑥,𝑦)memenuhi persamaan 3𝑥+5𝑦−7=0sehinggaSubstitusi nilai𝑥,𝑦,𝑎dan 𝑏Lakukan proses penjumlahan pada matriks dengan menjumlahkan elemen-elemen matriks yang seletakTranslasi(pergeseran)adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu.Titik 𝐴(𝑥,𝑦)ditranslasikan oleh 𝑇(𝑎𝑏)menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑥′,𝑦′)ditulis dengan(𝑥′𝑦′)=(𝑥𝑦)+(𝑎𝑏)Jika titik 𝐴(2,3)ditranslasikan oleh 𝑇(−3,4)maka bayangan titik A adalah ...Contoh Soal 1:Tentukanpersamaan bayangan garis 3𝑥+5𝑦−7=0oleh 𝑇(2−1)! Contoh Soal 2:𝐴(𝑥,𝑦)𝐴′(𝑥′,𝑦′)𝑇(𝑎𝑏)
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14(𝑥′𝑦′)=(𝑥𝑦)+(𝑎𝑏)(𝑥′𝑦′)=(𝑥𝑦)+(2−1)(𝑥′𝑦′)=(𝑥+2𝑦−1)Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥′=𝑥+2→𝑥=𝑥′−2𝑦′=𝑦−1→𝑦=𝑦′+1Substitusi𝑥=𝑥′−2dan 𝑦=𝑦′+1ke persamaan garis 3𝑥+5𝑦−7=03(𝑥′−2)+5(𝑦′+1)−7=03𝑥′−6+5𝑦′+5−7=03𝑥′+5𝑦′−8=0Jadi persamaan bayangan garis adalah 3𝑥+5𝑦−8=0C.Rangkuman1.Translasi(pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu.2.Titik 𝐴(𝑥,𝑦)ditranslasikan oleh 𝑇(𝑎𝑏)menghasilkan bayangan 𝐴′(𝑥′,𝑦′)ditulis dengan3.